Consigne: Soit $$A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&2\\ 0&0&0&2&2\\ 0&0&0&0&2\\ \end{pmatrix}$$ décomposer \(A\) en utilisant le théorème de Jordan
Valeurs propres et multiplicité On voit en regardant les diagonales de la matrice que ses valeurs propres sont \(1\) avec une multiplicité de \(3\) et \(2\) avec une multiplicité de \(2\)
Base des sous-espaces caractéristiques $$B=A-\operatorname{Id}=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}$$ une base de \(\ker B\) est donc donnée par \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
$$B^2=\left(\begin{array}{ccc|cc}0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ \hline0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc|cc}0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ \hline0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc|cc}0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ \hline0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right)$$
Une base de \(\ker B^2\) est donc donnée par : \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
$$C=A-2\operatorname{Id}=\begin{pmatrix}-1&1&1&0&0\\ 0&-1&0&0&0\\ 0&0&-1&0&2\\ 0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$ une base de \(\ker C\) est donc donnée par \(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\) $$C^2=\left(\begin{array}{ccc|cc}1&1&1&0&0\\ 0&-1&0&0&0\\ 0&0&-1&0&2\\ \hline0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc|cc}1&1&1&0&0\\ 0&-1&0&0&0\\ 0&0&-1&0&2\\ \hline0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc|cc}1&-2&-2&0&2\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&-2\\ \hline0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)$$ une base de \(\ker C^2\) est donc donnée par \(\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}}_{\text{base de }\ker C}\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
Réécriture de la base de \(\ker B^2\) pour y faire apparaître la base de \(\ker B\) On compose et on complète : \(\underbrace{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}}_{\text{base de }\ker B},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) base de \(\ker B^2\)
Multiplier les vecteurs qui sont dans \(\ker X^2-\ker X\) par \(X\) (avec \(X=B\) et \(X=C\)) On calcule \(B\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
On calcule \(C\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\)
Les bases de Jordan pour chaque valeur propre sont donc constituées du vecteur étant dans \(\ker X^2-\ker X\), de son image par \(X\), et (si la multiplicité n'est pas trop petite) d'un vecteur de \(\ker X\) tel que le déterminant de \(P\) est non nul Une base de Jordan pour \(\lambda=1\) est donc \(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) et une base de Jordan pour \(\lambda=2\) est donc \(\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\)
Conclusion
Si \(P=\begin{pmatrix}0&1&0&2&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&-1&2&0\\ 0&0&0&0&2\\ 0&0&0&1&0\end{pmatrix}\), alors \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&2&0\\ 0&0&0&1&2\end{pmatrix}\)
(Sous-espace caractéristique )